Фракталы

Джексон Поллок создал одни из самых культовых картин ХХ века, и некоторые исследователи утверждают, что их притягательность берет начало в математике. Если быть совсем точным, то ученые утверждают, что в своих картинах в тематике разбрызгивания, которые Поллок закончил в 1940-ых, он использовал фракталы, являющиеся геометрическими элементами, которые повторяют друг друга в больших и маленьких масштабах.

В конце 1990-ых физик Ричард Тэйлор заметил, что картины Поллока в технике разбрызгивания имеют фрактальные свойства, и предположил, что можно определить фрактальные характеристики его работ. Что ему и удалось сделать при помощи компьютера.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Как и все в науке, фракталы принято делить на классы или виды. Каждый вид имеет свое особое происхождение.

Наиболее известный пример геометрического фрактала – Треугольник Серпинского. Построить его достаточно просто: из центра равностороннего треугольника «вырезается» такой же равносторонний треугольник, только перевернутый и в четыре раза меньше. Теперь в каждом из углов у нас имеется по маленькому треугольнику. С каждым из них повторяем то же самое: в середине каждого вырезаем еще по одному треугольнику. И так далее, до бесконечности. Если при этом взять любой из образовавшихся треугольников и увеличить его, то получится точная копия целого – здесь мы имеем дело с полным самоподобием. Примерно так же получаются все остальные геометрические фракталы: берется исходная геометрическая фигура, а затем к ней и всем ее частям применяется одно и то же правило.

Алгебраические фракталы строятся на основе алгебраических формул, при этом по алгоритму производится последовательность преобразований исходных данных, и результаты очередного шага зависят от предыдущего. Например, берется формула, в нее подставляется некое определенное число и вычисляется результат. Затем в эту же формулу подставляется результат и выводится следующее число. Процедура повторяется многократно (итерационный процесс). В результате получается набор чисел, которые являются точками фрактала. Удивительно то, что иногда эти формулы до смешного простые. А вот фигуры получаются поразительной сложности и красоты. Таким образом рисуют, например, фрактал папоротника. Общий вид таких формул Z[n+1] = F( Z[n] ).

Следующий вид — стохастические фракталы. Их можно получить, если некоторые параметры в итерационном процессе менять случайным образом. Этим способом можно моделировать такие природные объекты, как береговые линии, рельеф местности, облака, волны на воде и многое другое. Стохастические фракталы сегодня широко применяются в компьютерных играх и кинофильмах для создания в них обстановки, которую трудно отличить от реальности.

Еще одним распространенным видом фракталов являются системы итерируемых функций. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли. Он пытался кодировать изображения с помощью фракталов и разработал новый, фрактальный формат (FIF), который позволяет добиться высоких степеней сжатия. При этом сам формат не зависит от разрешения: изображение закодировано с помощью формул, и его можно увеличить до любых размеров, при этом мы наблюдаем не увеличение пикселей, а появление все новых деталей. Это направление сейчас продолжает развиваться. Например, компанией Iterated уже разработан новый формат изображений – «Sting», сочетающий в себе фрактальное и «волновое» сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.

С момента возникновения теории прошло чуть больше трети века, но фракталы уже стали неотъемлемым инструментом во многих областях исследований. Сегодня с помощью теории фракталов пытаются объяснить эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества. В биологии с помощью фракталов моделируются  хаотические процессы, в частности, при описании моделей популяций. В индустрии кино с помощью фрактальной графики создаются реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени). Фракталы  применяют для скрытной передачи информации, предсказания будущего, реконструкции прошлого и даже для управления хаосом.

19.11.2017